Численные Методы Решения Нелинейных Уравнений Курсовая

Уважаемый гость, на данной странице Вам доступен материал по теме: Численные Методы Решения Нелинейных Уравнений Курсовая. Скачивание возможно на компьютер и телефон через торрент, а также сервер загрузок по ссылке ниже. Рекомендуем также другие статьи из категории «Рефераты».

Численные Методы Решения Нелинейных Уравнений Курсовая.rar
Закачек 541
Средняя скорость 9274 Kb/s

Численные Методы Решения Нелинейных Уравнений Курсовая

Численные методы.docx

Министерство образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Орловский государственный университет»

решения нелинейных уравнений»

Выполнила: студентка 4 курса

Кравченко Анна Викторовна

Руководитель: старший преподаватель

Черкасова Владлена Владиславовна

§1.Численные методы решения

    1. Постановка задачи

§2.Этапы приближенного решения нелинейных уравнений.

    1. Определение корней
  1. Уточнение корней

§3.Основные методы решения нелинейных уравнений

    1. Метод половинного деления
    1. Метод касательных (Ньютона)
    1. Метод секущих (хорд)
    1. Метод простой итерации

Список используемой литературы

Очень часто в различных областях экономики приходится встречаться с математическими задачами, для которых не удается найти решение классическими методами или решения выражены громоздкими формулами, которые не приемлемы для практического использования. Поэтому большое значение приобрели численные методы. В большинстве случаев численные методы являются приближенными, так как с их помощью обычно решаются задачи, аппроксимирующие исходные. В ряде случаев численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе сводится к искомому решению. Однако реально предельный переход не удается осуществить, и процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение. Кроме того, источниками погрешности являются несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению и погрешность исходных данных.

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений – одна из сложных и до конца не решенных задач. Даже о расположении и существовании корней систем нелинейных уравнений почти ничего нельзя сказать. Большинство методов решения систем нелинейных уравнений сходятся к решению, если начальное приближение достаточно близко к нему, и могут вообще не давать решения при произвольном выборе начального приближения. Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно зависят от свойств уравнений, то есть от свойств матрицы системы, и от выбора начальных приближений.

В своей курсовой работе я поставила три основные цели и задачи:

  1. Изучение разновидности комбинаторных задач.
  2. Изучение основных комбинаторных операций.
  3. Изучение комбинаторики как раздел элементарной алгебры.

Для достижения поставленных целей и решения задач в курсовой работе я использовала различные источники информации. В основном это были книги Бахвалов Н. С. Численные методы и Вержбицкий В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. В них четко и точно изложен нужный для моей курсовой работы материал.

Курсовая работа построена таким образом, что сначала идут сведения о численных методах в целом, а уже после более подробно рассмотрены решения нелинейных уравнений.

Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер (1704-1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный как правило Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и предпринимались активные попытки увеличить их точность.

Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов.

В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

Постановка задачи.

Пусть имеется уравнение вида

где f (x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция. (Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций — показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.)

Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.
Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.

Поставим задачу найти такое приближенное значение корня xпр, которое мало отличается от точного значения корня x*, так что выполняется неравенство │x* – xпр │ нелинейных уравнений.

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

  1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f (x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).
  2. Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того чтобы графически отделить корни уравнения (1), необходимо построить график функции y=f(x). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения (рис. 1).

Рис. 1. Графическое отделение корней (1-ый способ).
На практике же бывает удобнее заменить уравнение (1) равносильным ему уравнением

где φ(x) и ψ(x) — более простые функции, чем f(x). Абсциссы точек пересечения графиков функций y= φ(x) и y= ψ(x) дают корни уравнения (2), а значит и исходного уравнения (1) (рис.2).

Пример 1. Отделить графически корень уравнения 1-x 2 +x 3 =0.
Решение. Для решения задачи построим график функции y=1-x 2 +x 3 (рис. 3).

Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку [-1,2;-0,8], второй – отрезку [0,8;1,2]. Так как рассматриваемое уравнение имеет третью степень, то должен существовать еще один корень на интервале (3,2;+∞).

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1. Если непрерывная функция y=f(x) принимает на концах отрезка [a;b]значения разных знаков, т.е. f(a)∙f(b) 2 -e x =0.

Решение. Для отрезка [0;1] имеем: f(0)=(0-1) 2 -e 0 =0,5;

f(1)=(1-1) 2 -e 1 =-e=-1.359 . Значит, f(0)∙f(1) 0, граница a сдвигается вправо – заменить a на с: a:= c.

Перейти к шагу 1.

Алгоритм деления отрезка пополам довольно медленный, но зато абсолютно застрахован от неудач. Основное достоинство метода состоит в том, что его скорость сходимости не зависит от вида функции f (x). Данный метод не имеет дополнительных условий сходимости, кроме f(a)∙f(b) 0, то нулевое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид:

y = f (b) + f ’(b) * (x – b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая, что f ’(x) ¹ 0, решаем его относительно x. Получим :

Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью Оx:

Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Пример готовой курсовой работы по предмету: Высшая математика

1 Понятия и определения 3

1.1 Постановка задачи 3

1.2 Локализация корней 4

1.3 Уточнение корней 8

2 Методы уточнения корней 10

2.1 Метод половинного деления (бисекции, дихотомии) 10

2.2 Метод хорд 12

2.3 Метод Ньютона (метод касательных) 14

2.3.1 Сущность метода Ньютона 14

2.3.2 Сходимость метода Ньютона 15

2.3.3 Выбор начального приближения в методе Ньютона 17

2.4 Модифицированный метод Ньютона 17

2.5 Метод секущих 18

2.6 Метод простых итераций 19

2.6.1 Сущность метода простых итераций 19

2.6.2 Преобразование уравнения к итерационному виду 22

2.7 Метод Мюллера 24

2.8 Метод Риддерса 25

3 Методы решения алгебраических уравнений 26

3.1 Постановка задачи 26

3.2 Метод Лаггера 26

3.3 Метод сопровождающей матрицы 27

Список литературы 28

Выдержка из текста

При решении уравнения необходимо отыскатьточкупересечения кривой у = f (х) ипрямойу = х.НаРис. 2.7, аизображена некоторая кривая у = f (х), котораяможетпредставлять собой любую функцию, но сейчас для нас важно то обстоятельство, что производная этой функции в окрестности корня положительна и меньше

1. Пусть х = х*- корень уравнения, который, естественно, предполагается неизвестным. Выберем начальное приближение в точке х 0. Следующее приближении х 1, в соответствии с, будет равно f (x 0).

Для того, чтобы отобразить х 1 на графике, можно провести через точку прямую, параллельную оси ОХ, до пересечения с прямой у = х, а затем в точке пересечения этих прямых опустить перпендикуляр на ось ОХ, который и отметит положение точки x 1. Аналогично получаются все последующие приближения. Из рисунка видно, что они сходятся к корню. Напомним, что для рассмотрения мы взяли функцию, производная которой положительна и меньше 1. Рассмотрим теперь другую функцию у = f (х), производная которойотрицательна, но меньше 1 по абсолютному значению. Этот случай изображен на Рис. 2.7, в. Последовательные приближения также сходятся к корню, но на этот раз каждое последующее приближение находится с противоположной стороны от корня. В то время как в первом случае все последовательные приближения находились с одной стороны от корня. Наконец, рассмотрим случай, когда производная функции у = f (х) больше 1 (Рис. 2.7, б) и меньше -1 (Рис. 2.7, г).

В обоих случаях каждое последующее приближение отстоит дальше от корня, т. е. итерационный процесс расходится. Из сказанного выше можно предположить, что итерационный процесс, определяемый формулой, сходится при условии, что производная f (х) меньше 1 по абсолютной величине. Математически условие сходимости можно установить следующим образом [7].

Представим k-е и (k+1)-е приближения в форме: где ek и ek+1- отклонения приближений от корня. Функцию f (х) вблизи точки х* приближенно заменим первыми двумя членами ряда Тейлора. Тогда итерационная формула примет вид: но, поскольку х* является корнем уравнения, то первые слагаемые в правой и левой частях этого выражения тождественно равны и, следовательно, Для сходимости итерационного процесса необходимо, чтобы погрешность на каждом шаге убывала: откуда следует, что в окрестности корня должно выполняться условие: Таким образом, для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо, чтобы абсолютная величина производной f'(х) в окрестности корня была меньше единицы. Если это условие выполняется на отрезке [а, b], на котором локализован корень, то в качестве начального приближения можно взять любую точку из этого отрезка. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной |f'(х)|: чем меньше |f'(х)| вблизи корня, тем быстрее сходится процесс. Преобразование уравнения к итерационному видуПереход от уравнения к уравнению в итерационной форме можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции f (х) [8].

При таком переходе необходимо построить функцию f (х) так, чтобы выполнялось условие сходимости .В качестве примера рассмотрим уравнение х 3-х- 1 =

0. один из корней которого расположен в интервале [1,2].

Преобразуем это уравнение квиду следующим образом: х = х 3-

1. Проверим условие сходимости для средней точки интервала локализации х = 1,5:Очевидно, что условие сходимости не выполнено. Преобразуемуравнение к итерационному виду другим способом:, и вновь проверим условие сходимости: Видно, что в этом случае условие сходимости выполнено. Теперь рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения f (х) = 0 к уравнению х = f (х).

Умножим левую и правую части уравнения f (х) = 0 на произвольную константу и добавим к обеим частям неизвестное х. При этом корни исходного уравнения не изменятся, илиУравнениеэквивалентноуравнению с функцией. Произвольный выбор константы позволяет обеспечить выполнение условия сходимости. Поскольку в данном случае, значение следует выбирать, так чтобы в окрестности корня выполнялось условие: Желательно выбрать величину t такой, чтобы -1 0, то сходимость ккорню носит односторонний характер (Рис. 2.7, а), и условиеможет выполниться гораздо раньше нужного требования. В этом случае контроль достигнутой точности лучше осуществлять по проверке неравенствагде Наибольшую скорость сходимости в методе простых итераций получим при f'(х) =

0. Этого можно добиться, если выбрать параметр tзависящимотхв видеПри этом итерационная формула переходит в формулу Ньютона: Таким образом, метод Ньютона можно трактовать как частный случай метода простых итераций, обладающий максимальной скоростью сходимости. Метод МюллераИдея метода Мюллера состоит в приближенной замене функции f (х)интерполяционным полиномом второй степени (параболой), построенным по трем точкам хk-2, хk-1, хk, и нахождением абсциссы точки пересеченияэтой параболы с осью ОХ, т. е. решением квадратного уравнения. Иными словами, в методе Мюллера используется не линейная аппроксимация, как в методах хорд, секущих и Ньютона, а квадратичная. Расчетные формулы метода следующие: Знак перед корнем выбирается так, чтобы абсолютное значение знаменателя было максимальным. Метод Мюллера обладает сверхлинейной сходимостью с порядком сходимостипорядка 1,8.Метод РиддерсаМетод Риддерса является модификацией рассмотренного ранее метода хорд и применяется в тех случаях, когда известен отрезок локализации корня.

Приведем расчетные формулы метода Риддерса без вывода: где, а функция sign (x) определена следующим образом:.Несомненным достоинством метода Риддерса является, тот факт, что определяемые по формуле последовательные приближения корня, также как и в методе хорд, всегда располагаются внутри отрезка локализации, и при этом метод обладает сверхлинейной сходимостью с порядком сходимости. Методы решения алгебраических уравненийПостановка задачиВсе рассмотренные выше методы уточнения корней нелинейных уравнений одинаково пригодны как для трансцендентных, так и для алгебраических уравнений. В то же время существуют методы, учитывающие специфику решаемой задачи. Рассмотрим кратко два таких метода[8].

Метод ЛаггераМетод Лагерра основывается на следующих соотношениях для полиномов: Предполагают, что корень х

1. который мы ищем, находится на расстоянии, а от текущего приближения, в то время как все другие корни находятся на расстоянии b: х-х 1 = а; х-хi = b, I = 2,3,…, п. Тогда с учетом рассмотренных соотношений для полиномов можно записать: и Выражая из этих соотношений а, получим: Знак перед корнем выбирается таким образом, чтобы знаменатель имел наибольшее значение. Метод сопровождающей матрицыВ основе этого метода лежит тот факт, что собственные значения квадратной матрицы, т. е. такие числа l, для которых выполняется равенство, могут быть определены как корни характеристического полинома. Можно показать, что для матрицыназываемой сопровождающей матрицей, характеристическим полиномомбудет являться полином общего вида. Таким образом, задачу поиска корней полинома можно свести к задаче нахождения собственных значений сопровождающей матрицы. Список литературыТурчак Л.И.

Основы численных методов: Учеб.пособие. — М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит., 2008. — 320 с. Тынкевич М.А. Численные методы анализа: Учеб.пособие. — Кемерово, 2007. — 123 с. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. «Численные методы в задачах и упражнениях». М.: Высшая школа, 2010. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. «Вычислительные методы для инженеров». М.: Высшая школа, 2014. Самарский А.А., Гулин А.В. «Численные методы».М.: Наука, 2009. Бахвалов Н. и др. Численные методы. — М.: Лаборатория базовых знаний. 2005. — 624с. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и ОДУ.-М.: Высшая школа. 2006. — 382 с. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения.-М.: Высшая школа. 2010. — 266 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб.пособие. — М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит., 2008. — 320 с.

2. Тынкевич М.А. Численные методы анализа: Учеб.пособие. — Кемерово, 2007. — 123 с.

3. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. «Численные методы в задачах и упражнениях». М.: Высшая школа, 2010.

4. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. «Вычислительные методы для инженеров». М.: Высшая школа, 2014.

5. Самарский А.А., Гулин А.В. «Численные методы».М.: Наука, 2009.

6. Бахвалов Н. и др. Численные методы. — М.: Лаборатория базовых знаний. 2005. — 624с.

7. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и ОДУ.-М.: Высшая школа. 2006. — 382 с.

8. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения.-М.: Высшая школа. 2010. — 266 с.

Разновидность комбинаторных задач, их характеристика и специфика. Этапы приближенного решения нелинейных уравнений, графическое и аналитическое отделение корней. Описание и отличительные черты методов решения нелинейных уравнений, их применение.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Орловский государственный университет»

«Численные методы решения нелинейных уравнений»

Кравченко Анна Викторовна

Численные методы решения нелинейных уравнений

Этапы приближенного решения нелинейных уравнений

Основные методы решения нелинейных уравнений

Метод половинного деления

Метод касательных (Ньютона)

Метод секущих (хорд)

Метод простой итерации

Список используемой литературы

Очень часто в различных областях экономики приходится встречаться с математическими задачами, для которых не удается найти решение классическими методами или решения выражены громоздкими формулами, которые не приемлемы для практического использования. Поэтому большое значение приобрели численные методы. В большинстве случаев численные методы являются приближенными, так как с их помощью обычно решаются задачи, аппроксимирующие исходные. В ряде случаев численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе сводится к искомому решению. Однако реально предельный переход не удается осуществить, и процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение. Кроме того, источниками погрешности являются несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению и погрешность исходных данных.

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений — одна из сложных и до конца не решенных задач. Даже о расположении и существовании корней систем нелинейных уравнений почти ничего нельзя сказать. Большинство методов решения систем нелинейных уравнений сходятся к решению, если начальное приближение достаточно близко к нему, и могут вообще не давать решения при произвольном выборе начального приближения. Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно зависят от свойств уравнений, то есть от свойств матрицы системы, и от выбора начальных приближений.

В своей курсовой работе я поставила три основные цели и задачи:

1. Изучение разновидности комбинаторных задач.

2. Изучение основных комбинаторных операций.

3. Изучение комбинаторики как раздел элементарной алгебры.

Для достижения поставленных целей и решения задач в курсовой работе я использовала различные источники информации. В основном это были книги Бахвалов Н. С. Численные методы и Вержбицкий В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. В них четко и точно изложен нужный для моей курсовой работы материал.

Курсовая работа построена таким образом, что сначала идут сведения о численных методах в целом, а уже после более подробно рассмотрены решения нелинейных уравнений.

Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер (1704-1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный как правило Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и предпринимались активные попытки увеличить их точность.

Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов. комбинаторный нелинейный уравнение графический

В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

Постановка задачи

Пусть имеется уравнение вида

где f (x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция. (Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций — показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.)

Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.

Поставим задачу найти такое приближенное значение корня xпр, которое мало отличается от точного значения корня x*, так что выполняется неравенство ¦x*xпр ¦ 2 +x 3 =0.

Решение. Для решения задачи построим график функции y=1-x 2 +x 3 (рис. 3).

Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку [-1,2;-0,8], второй — отрезку [0,8;1,2]. Так как рассматриваемое уравнение имеет третью степень, то должен существовать еще один корень на интервале (3,2;+?).

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.

Перейти к шагу 1.

Алгоритм деления отрезка пополам довольно медленный, но зато абсолютно застрахован от неудач. Основное достоинство метода состоит в том, что его скорость сходимости не зависит от вида функции f (x). Данный метод не имеет дополнительных условий сходимости, кроме f(a)•f(b) 0, то нулевое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f `(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид:


Статьи по теме