Комбинаторика и Теория Вероятности Конспект

Уважаемый гость, на данной странице Вам доступен материал по теме: Комбинаторика и Теория Вероятности Конспект. Скачивание возможно на компьютер и телефон через торрент, а также сервер загрузок по ссылке ниже. Рекомендуем также другие статьи из категории «Конспекты».

Комбинаторика и Теория Вероятности Конспект.rar
Закачек 897
Средняя скорость 6378 Kb/s

Комбинаторика и Теория Вероятности Конспект

Урок по теме « Статистика, комбинаторика и теория вероятности»

— Систематизировать знания и умения по статистике, комбинаторике, теории вероятности.

— Развивать умения решать задачи по теме, математический кругозор.

— Воспитывать культуру письменной и устной математической речи.

И начнем урок с такой задачи, а называется она бесплатный обед:

9 молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались и первое блюдо было подано, заспорили о том, как сесть вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие по возрасту, третьи – по успеваемости, четвертые по росту и т.д. Спор затянулся, первое блюдо уже остыло, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью: Молодые друзья мои, оставьте свои пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня. Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите, завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по- новому и т.д. , пока не перепробуете все возможные варианты. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами. Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами. Вопрос как долго им придется ждать бесплатного обеда. Можно ответить сейчас, а можно и в конце урока.

362880 дней : 365= 994 года.

На доске записан ряд чисел 175, 172, 179, 171, 174,170, 172,169

— найдите медиану ряда(172),

— найдите среднее арифметическое ряда(172,75)

— найдите разность между средним арифметическим и медианой ряда (0,75).

Поменялись тетрадями проверяем, поставили количество баллов.

Какой раздел математики изучает эти понятия? (статистика)

А мы с вами встречаемся в жизни с ними? Да. На ГИА 9 классе, а теперь уже и в 11.

У вас у всех на партах лежат листки с задачами, следующее ваше задание

Прочитать и разместить их по какому — то виду: перестановка , размещения , сочетания и записать формулы для решения задач каждого вида.

Сколькими способами можно составить список из 9 человек? (362880) перестановка

Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера? (246480) сочетание

Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписании на день могут быть включены только три различных из них? (6*7*8=336) размещение

Сколькими способами можно выбрать двух дежурных если в классе 25 человек? (300)сочетание.

В классе 16 девочек и 9 мальчиков. Определите вероятность того, что вызванный к доске ученик будет мальчиком, девочкой. (0,36;0,64) вероятность.

Что вы можете сказать про задачи? Есть ли здесь лишняя? Да

И куда же она относится? (теория вероятности). Р=

А остальные задачи к какому разделу математики? Комбинаторике. Совершенно правильно.

А теперь следующая задача: В кармане у Саши было 4 монеты по 5 рублей и 2 монеты по 10 рублей. Саша не глядя, переложил какие – то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что десяти рублевые монеты лежат теперь в разных карманах.(0,6)

Решение:

Самостоятельная работа с последующей самопроверкой.

1.Сколькими способами можно разместить 5 различных книг на полке?(120)

2. Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0,1,3,6,7,9? (Если нет нуля то число размещений из 6 по 3, но у нас есть нуль, А 6 по 3 –А 5 по2=4*5*6-4*5=120-20=100)

3. Вычислить: (ответ:3*6+2*9*10-6*7/2=177)

4. Выпускники экономического института работают в трех различных компаниях. 17 в банке, 23 в фирме, 19 в налоговой инспекции. Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник не работает в банке.(23/59)

5. Мишень представляет собой 3 круга, радиусы которых равны 3,7,8. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите вероятность того, что он попал в средний круг, но не попал в маленький.(5/8)

Проверяем и ставим оценку за урок каждый себе.

Поводим итог урока: вернемся к задаче, которая была в начале урока. Что можно сказать про бесплатный обед, когда он наступит и произойдет ли это? Конечно нет, а почему? Какую часть математики знает официант очень хорошо? Конечно — же комбинаторику.

Сколькими способами можно составить список из 9 человек?

Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписании на день могут быть включены только три различных из них? (6*7*8=336) размещение

Сколькими способами можно выбрать двух дежурных если в классе 25 человек?

В классе 16 девочек и 9 мальчиков. Определите вероятность того, что вызванный к доске ученик будет мальчиком, девочкой.

Сколькими способами можно составить список из 9 человек?

Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера , если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписании на день могут быть включены только три различных из них? (6*7*8=336) размещение

Сколькими способами можно выбрать двух дежурных если в классе 25 человек?

В классе 16 девочек и 9 мальчиков. Определите вероятность того, что вызванный к доске ученик будет мальчиком, девочкой.

Сколькими способами можно составить список из 9 человек?

Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера , если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписании на день могут быть включены только три различных из них? (6*7*8=336) размещение

Сколькими способами можно выбрать двух дежурных если в классе 25 человек?

В классе 16 девочек и 9 мальчиков. Определите вероятность того, что вызванный к доске ученик будет мальчиком, девочкой.

1.Сколькими способами можно разместить 5 различных книг на полке?

2. Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0,1,3,6,7,9?

3. Вычислить:

4. Выпускники экономического института работают в трех различных компаниях. 17 в банке, 23 в фирме, 19 в налоговой инспекции. Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник не работает в банке.

5. Мишень представляет собой 3 круга, радиусы которых равны 3,7,8. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите вероятность того, что он попал в средний круг , но не попал в маленький.

1.Сколькими способами можно разместить 5 различных книг на полке?

2. Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0,1,3,6,7,9?

3. Вычислить:

4. Выпускники экономического института работают в трех различных компаниях. 17 в банке, 23 в фирме, 19 в налоговой инспекции. Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник не работает в банке.

5. Мишень представляет собой 3 круга, радиусы которых равны 3,7,8. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите вероятность того, что он попал в средний круг , но не попал в маленький.

Успейте воспользоваться скидками до 70% на курсы «Инфоурок»

«Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Основная цель: ознакомить учащихся с понятиями перестановки, размещения, сочетания и соответствующими формулами для подсчёта их числа; ввести, понятия относительной частоты и вероятности случайного события.

Примеры комбинаторных задач

Цель: повторить и обобщить основные понятия комбинаторики, ввести комбинаторное правило умножения.

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний: Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из раздела множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

Вспомним примеры таких задач:

1.Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг?

Решение: Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов.

Ответ: 6 комбинаций.

2.Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9.

Составим таблицу: слева от 1 – го столбца поместим первые цифры искомых чисел, сверху – вторые цифры этих чисел (чётные цифры, тогда столбцов будет три).

Так в столбце перечислены все возможные варианты, следовательно, их столько же, сколько клеток в столбце, т.е. 15.

3.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение: КП КБ КПр КК

К-рП К-рБ К-рПр К-рК Ответ: 12 вариантов.

Во всех задачах был осуществлён перебор всех возможных вариантов или комбинаций. Поэтому эти задачи называют комбинаторными. Слово комбинация происходит от латинского combino – соединяю. Действительно при получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов последовательно соединяя их друг с другом. С этой точки зрения: число – это комбинация цифр, слово – это комбинация букв, меню – это комбинация блюд.

Во всех предложенных задачах для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на «дерево возможных вариантов», таблицу, кодирование). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами.

Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления.

III. Изучение нового материала.

Мы рассмотрели примеры 3-х разных задач, но получили совершенно одинаковые решения, которые основаны на общем правиле умножения:

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если первый элемент m 1 выбрать n 1 способами, после чего второй элемент m 2 выбрать n 2 способами из оставшихся, затем третий элемент m 3 выбрать n 3 способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все к элементов, равно произведению

Материал полезен учителям математики

Предварительный просмотр:

Учитель: Хакимзянова Н.И.

Образовательное учреждение: МБОУ «Кубянская СОШ»

Тема урока: «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов)

Тип урока : комбинированный

— систематизировать знания, умения и навыки, необходимые для вычисления комбинаторных и вероятностных задач, показать применение комбинаторики и теории вероятностей в практических целях и в жизни человека.

-рассмотреть и решить задачи по комбинаторике и теории вероятностей;

-формирование у школьников позитивной мотивации к подготовке к ОГЭ по математике.

-отработка алгоритма решения задач на нахождение вероятности, выбора правила и выбора формулы.

-развитие умений сравнивать, обобщать, находить различные способы решения задачи;

-развивать умение работать в команде, развивать память, внимание, мышление.

-развитие самостоятельности в мышлении.

-воспитывать умение ставить цели и реализовывать их.

-закрепить уверенность в способности к стрессоустойчивости, самоорганизации;

-воспитывать умение внимательно слушать и слышать, уважать другое мнение, поддерживать других и быть к ним благожелательными.

Методы: беседа, фронтальная работа, индивидуальная работа, самостоятельная работа.

Оборудование урока: Мультимедийный проектор; Интерактивная доска.

Использованные программы MS PowerPoint

  1. Этап актуализации знаний (8 мин)
  1. Проверка выполнения домашнего задания. №716 (12 способов), №718 ( 6; 4 )

2) Комбинаторные задачи . В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций . Такие задачи получили название комбинаторных задач , а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называют комбинаторикой.

Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин «комбинаторика» был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно известным немецким учёным.

Приемы решения комбинаторных задач:

-решение методом перебора;

— решение с помощью дерева возможных вариантов;

-решение с помощью комбинаторного правила умножения;

-решение с помощью таблиц;

— решение с помощью графов.

3) Установи соответствие : Используем структуру РЕЛЛИ ТЭЙБЛ. Два участника по плечу поочередно записывают свои ответы на одном листе бумаги.

В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

О т в е т: 12 вариантов.

4) Повторение формул. При решение задач с большими числами удобно использовать формулы.

Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами «Сколькими способами…»

Порядок имеет значение

Порядок имеет значение

Порядок не имеет значения

Области применения комбинаторики:

-учебные заведения (составление расписаний)

-сфера общественного питания (составление меню)

-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

-география (раскраска карт)

-биология (расшифровка кода ДНК)

-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)

-азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

-криптография (разработка методов шифрования)

-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

  1. Этап обобщения и систематизации теоретических и практических знаний (10 мин)

Решение задач на последовательности. Используем структуру КОНЭРС. Это обучающая структура на взаимодействие УЧЕНИК – УЧЕНИК, для развития КОММУНИКАЦИИ И СОТРУДНИЧЕСТВА, «углы», обучающая структура, в которой ученики распределяются по разным углам в зависимости от выбранного им варианта ответа. Направляясь к углам класса, ученики осознают, что существует разнообразие точек зрения по данной проблеме. Обучающая структура КОНЭРС призвана для развития коммуникации и сотрудничества, своего собственного мышления, учит ценить и принимать разность точек зрения и идей. Учитель объявляет 3 угла: «Перестановки» , «Размещения» , «Сочетания » . Перед учащимися лежат карточки №1. Нужно определить к какой последовательности относится задание, подойти к выбранному углу, обсудить, решить задачи. Учитель опрашивает учащихся из разных углов. Затем решения и ответы вводятся через сканер и каждая группа видит решения через интерактивную доску.

Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Олег должен находиться в конце ряда;

б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь — в конце ряда;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом.

а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число возможных комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Р =6!=720.

б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем: Р = 5!= 120.

в) Воспользуемся приёмом «склеивания» элементов. Пусть Олег и Игорь стоят рядом в порядке ОИ. Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций будет равно Р =6!=720 Пусть Олег и Игорь стоят рядом в порядке ИО. Тогда получим ещё Р =6!=720 других комбинаций.

Общее число комбинаций, в которых Олег и Игорь стоят рядом (любом порядке) равно 720+720=1 440.

Ответ : а) 720; б) 120; в) 1 440 комбинаций.

На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места:

а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий?

в) Выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий):

Ответ: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.

Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трех человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;

б) Иванов и Петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров — остаться?

Выбираем три элемента из 12; порядок выбора не имеет значения (все трое идут в наряд).

а) Иванов и Петров идут в наряд, еще одного нужно выбрать из других 10 солдат; количество способов: =10.

б) Иванов и Петров не идут в наряд; троих идущих в наряд нужно выбрать из других 10 солдат; количество способов:

в) Иванов идет в наряд, а Петров остается. Еще двоих, идущих в наряд с Ивановым, нужно выбрать из других 10 солдат (Иванова и Петрова не считаем); количество способов:

Ответ: а) 10 способов; б) 120 способов; в) 45 способов.

  1. Этап воспроизведения знаний в стандартных и новых ситуациях. (15 мин)

Определение: Если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

В отличии от статистического подхода к вычислению вероятности такой подход называется классическим. Статистический подход предполагает фактическое проведение испытания, а при классическом подходе не требуется, чтобы испытание было проведено в действительности.

2. Вероятность достоверного события считается равной 1. Вероятность невозможного события считается равной 0.

3. Классическая вероятностная схема (алгоритм). Этот способ применим только в тех случаях, когда все исходы некоторого испытания равновозможные.

Для нахождения вероятности случайного события А при приведении некоторого испытания следует:

1) найти число N всех возможных исходов данного испытания;

2) найти количество N(A) тех исходов испытания, в которых наступает событие А;

3) найти частное ; оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать: P(A).

Формула нахождения вероятности события А: .

Рассмотрим пример. 17 точек из 50 покрашены в синий цвет, а 13 из оставшихся покрашены в оранжевый цвет. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется: а) синей; б) не оранжевой; в) окрашенной; г) неокрашенной?

Физминутка: Выполнение на тренажере упражнений для глаз.

Работа в группах.

Работа по учебнику у доски.

1 группа №798,802; 2 группа №799, 809

Проверка выполненных заданий по группам.

№798. Ответ: 120:1500=0,08

№802. Ответ: 1+2=3, 2+1=3, 6· 6=36, 2/36=1/18

№799. Ответ: а) 1/6 б) 1/3

№809. Ответ: 9/10·8/9=0,8

  1. Контроль сформированности умений и навыков. (8 мин)

1. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.

2. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

3. Из 500 мониторов, поступивших в продажу, в среднем 15 не работают. Какова вероятность того, что случайно выбранный в магазине монитор работает?

4. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

5. На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.


Статьи по теме