Множественная Линейная Регрессия Реферат

Уважаемый гость, на данной странице Вам доступен материал по теме: Множественная Линейная Регрессия Реферат. Скачивание возможно на компьютер и телефон через торрент, а также сервер загрузок по ссылке ниже. Рекомендуем также другие статьи из категории «Рефераты».

Множественная Линейная Регрессия Реферат.rar
Закачек 3255
Средняя скорость 2450 Kb/s

Множественная Линейная Регрессия Реферат

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ХЕРСОНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНЕВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

по дисциплине: „Методы анализа данных”

на тему: „Линейный множественный регрессионный анализ”

Студент гр. 4ЭК2

1. Регрессионный анализ

2. Основы линейного регрессионного анализа

3. Множественная линейная регрессия

4. Линейный множественный регрессионный анализ

1. Регрессионный анализ

Если расчёт корреляции характеризует силу связи между двумя переменными, то регрессионный анализ служит для определения вида этой связи и дает возможность для прогнозирования значения одной (зависимой) переменной отталкиваясь от значения другой (независимой) переменной. Для проведения линейного регрессионного анализа зависимая переменная должна иметь интервальную (или порядковую) шкалу. В то же время, бинарная логистическая регрессия выявляет зависимость дихотомической переменной от некой другой переменной, относящейся к любой шкале. Те же условия применения справедливы и для пробит-анализа. Если зависимая переменная является категориальной, но имеет более двух категорий, то здесь подходящим методом будет мультиномиальная логистическая регрессия можно анализировать и нелинейные связи между переменными, которые относятся к интервальной шкале. Для этого предназначен метод нелинейной регрессии.

2. Основы линейного регрессионного анализа

Раздел многомерного статистического анализа, посвященный восстановлению зависимостей, называется регрессионным анализом. Термин «линейный регрессионный анализ» используют, когда рассматриваемая функция линейно зависит от оцениваемых параметров (от независимых переменных зависимость может быть произвольной). Теория оценивания неизвестных параметров хорошо развита именно в случае линейного регрессионного анализа. Если же линейности нет и нельзя перейти к линейной задаче, то, как правило, хороших свойств от оценок ожидать не приходится. Продемонстрируем подходы в случае зависимостей различного вида. Если зависимость имеет вид многочлена (полинома)

то коэффициенты многочлена могут быть найдены путем минимизации функции

Функция от t не обязательно должна быть многочленом. Можно, например, добавить периодическую составляющую, соответствующую сезонным колебаниям.

Хорошо известно, например, что инфляция (рост потребительских цен) имеет четко выраженный годовой цикл — в среднем цены быстрее всего растут зимой, в декабре — январе, а медленнее всего (иногда в среднем даже падают) летом, в июле — августе.

Пусть для определенности

тогда неизвестные параметры могут быть найдены путем минимизации функции

Пусть I(t) — индекс инфляции в момент t. Принцип стабильности условий приводит к гипотезе о постоянстве темпов роста средних цен, т.е. индекса инфляции. Таким образом, естественная модель для индекса инфляции – это

Эта модель не является линейной, метод наименьших квадратов непосредственно применять нельзя. Однако если прологарифмировать обе части предыдущего равенства:

то получим линейную зависимость, рассмотренную в первом пункте настоящей главы.

Независимых переменных может быть не одна, а несколько. Пусть, например, по исходным данным требуется оценить неизвестные параметры a и b в зависимости

где — погрешность. Это можно сделать, минимизировав функцию

Зависимость от х и у не обязательно должна быть линейной. Предположим, что из каких-то соображений известно, что зависимость должна иметь вид

тогда для оценки пяти параметров необходимо минимизировать функцию

Более подробно рассмотрим пример из микроэкономики. В одной из оптимизационных моделей поведения фирмы используется т.н. производственная функция f(K,L), задающая объем выпуска в зависимости от затрат капитала K и труда L. В качестве конкретного вида производственной функции часто используется так называемая функция Кобба-Дугласа

Однако откуда взять значения параметров и ? Естественно предположить, что они — одни и те же для предприятий отрасли. Поэтому целесообразно собрать информацию где fk — объем выпуска на k -ом предприятии, Kk — объем затрат капитала на k- ом предприятии, Lk — объем затрат труда на k- ом предприятии (в кратком изложении здесь не пытаемся дать точных определений используемым понятиям из экономики предприятия). По собранной информации естественно попытаться оценить параметры и . Но они входят в зависимость нелинейно, поэтому сразу применить метод наименьших квадратов нельзя. Помогает логарифмирование:

Следовательно, целесообразно сделать замену переменных

а затем находить оценки параметров и , минимизируя функцию

Найдем частные производные:

Приравняем частные производные к 0, сократим на 2, раскроем скобки, перенесем свободные члены вправо. Получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Таким образом, для вычисления оценок метода наименьших квадратов необходимо найти пять сумм:

Для упорядочения расчета этих сумм может быть использована таблица типа той, что применялась в первом пункте настоящей главы. Отметим, что рассмотренная там постановка переходит в разбираемую сейчас при

Подходящая замена переменных во многих случаях позволяет перейти к линейной зависимости. Например, если

то замена z=1/y приводит к линейной зависимости z = a + bx. Если y=(a+bx) 2 , то замена приводит к линейной зависимости z = a + bx.

3. Множественная линейная регрессия

В общем случае в регрессионный анализ вовлекаются несколько независимых переменных. Это, конечно же, наносит ущерб наглядности получаемых результатов, так как подобные множественные связи в конце концов становится невозможно представить графически.

В случае множественного регрессионного анализа речь идёт необходимо оценить коэффициенты уравнения

где n — количество независимых переменных, обозначенных как х1 и хn , а — некоторая константа.

Переменные, объявленные независимыми, могут сами коррелировать между собой; этот факт необходимо обязательно учитывать при определении коэффициентов уравнения регрессии для того, чтобы избежать ложных корреляций.

4. Линейный множественный регрессионный анализ

В практике часто возникают ситуации, когда функция отзыва (цели) Y зависит не от одного, а от многих факторов. Установление формы связи в таких случаях начинают, как правило с рассмотрения линейной регрессии такого вида:

В таком случае результаты наблюдений должны быть представлены уравнениями, полученными в каждом из п опытов:

(1)

или в виде матрицы результатов наблюдений:

где п – количество опытов; k — количество факторов.

Для решения системы уравнений (1) необходимо, чтобы количество опытов было не меньше

k + 1, т.е. п k + 1.

Заданием множественного регрессионного анализа является построение такого уравнения прямой k -мерном пространстве, отклонение результатов наблюдений от которой были бы минимальными. Используя для этого метод наименьших квадратов, получаем систему нормальных уравнений:

которую представим в матричной форме

где В — вектор-столбец коэффициентов уравнения регрессии;

X — матрица значений факторов;

Y — вектор-столбец функции отзыва;

X Т — транспонированная матрица X .

При = 1, , они соответственно равны:

Перемножив правую и левую часть уравнения (2) на обратную матрицу (Х Т Х ) -1 , получим при:

Каждый коэффициент уравнения регрессии вычисляется по формуле:

где — элементы обратной матрицы (Х Т Х ) -1 .

Для проверки значимости уравнения регрессии необходимо при заданных значениях () провести несколько экспериментов, чтобы получить некоторое среднее значение функции Y . В этом случае экспериментальный материал представляется, например, в виде табл. 1.

Значения функции Y при параллельных исследованиях

Исследуемое среднее значение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ХЕРСОНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНЕВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

по дисциплине: „Методы анализа данных”

на тему: „Линейный множественный регрессионный анализ”

Студент гр. 4ЭК2

1. Регрессионный анализ

2. Основы линейного регрессионного анализа

3. Множественная линейная регрессия

4. Линейный множественный регрессионный анализ

1. Регрессионный анализ

Если расчёт корреляции характеризует силу связи между двумя переменными, то регрессионный анализ служит для определения вида этой связи и дает возможность для прогнозирования значения одной (зависимой) переменной отталкиваясь от значения другой (независимой) переменной. Для проведения линейного регрессионного анализа зависимая переменная должна иметь интервальную (или порядковую) шкалу. В то же время, бинарная логистическая регрессия выявляет зависимость дихотомической переменной от некой другой переменной, относящейся к любой шкале. Те же условия применения справедливы и для пробит-анализа. Если зависимая переменная является категориальной, но имеет более двух категорий, то здесь подходящим методом будет мультиномиальная логистическая регрессия можно анализировать и нелинейные связи между переменными, которые относятся к интервальной шкале. Для этого предназначен метод нелинейной регрессии.

2. Основы линейного регрессионного анализа

Раздел многомерного статистического анализа, посвященный восстановлению зависимостей, называется регрессионным анализом. Термин «линейный регрессионный анализ» используют, когда рассматриваемая функция линейно зависит от оцениваемых параметров (от независимых переменных зависимость может быть произвольной). Теория оценивания неизвестных параметров хорошо развита именно в случае линейного регрессионного анализа. Если же линейности нет и нельзя перейти к линейной задаче, то, как правило, хороших свойств от оценок ожидать не приходится. Продемонстрируем подходы в случае зависимостей различного вида. Если зависимость имеет вид многочлена (полинома)

то коэффициенты многочлена могут быть найдены путем минимизации функции

Функция от t не обязательно должна быть многочленом. Можно, например, добавить периодическую составляющую, соответствующую сезонным колебаниям.

Хорошо известно, например, что инфляция (рост потребительских цен) имеет четко выраженный годовой цикл — в среднем цены быстрее всего растут зимой, в декабре — январе, а медленнее всего (иногда в среднем даже падают) летом, в июле — августе.

Пусть для определенности

тогда неизвестные параметры могут быть найдены путем минимизации функции

Пусть I(t) -индекс инфляции в момент t. Принцип стабильности условий приводит к гипотезе о постоянстве темпов роста средних цен, т.е. индекса инфляции. Таким образом, естественная модель для индекса инфляции – это

Эта модель не является линейной, метод наименьших квадратов непосредственно применять нельзя. Однако если прологарифмировать обе части предыдущего равенства:

то получим линейную зависимость, рассмотренную в первом пункте настоящей главы.

Независимых переменных может быть не одна, а несколько. Пусть, например, по исходным данным требуется оценить неизвестные параметры a и b в зависимости

где — погрешность. Это можно сделать, минимизировав функцию

Зависимость от х и у не обязательно должна быть линейной. Предположим, что из каких-то соображений известно, что зависимость должна иметь вид

тогда для оценки пяти параметров необходимо минимизировать функцию

Более подробно рассмотрим пример из микроэкономики. В одной из оптимизационных моделей поведения фирмы используется т.н. производственная функция f(K,L), задающая объем выпуска в зависимости от затрат капитала K и труда L. В качестве конкретного вида производственной функции часто используется так называемая функция Кобба-Дугласа

Однако откуда взять значения параметров и ? Естественно предположить, что они — одни и те же для предприятий отрасли. Поэтому целесообразно собрать информацию где fk— объем выпуска на k-ом предприятии, Kk— объем затрат капитала на k-ом предприятии, Lk— объем затрат труда на k-ом предприятии (в кратком изложении здесь не пытаемся дать точных определений используемым понятиям из экономики предприятия). По собранной информации естественно попытаться оценить параметры и . Но они входят в зависимость нелинейно, поэтому сразу применить метод наименьших квадратов нельзя. Помогает логарифмирование:

Следовательно, целесообразно сделать замену переменных

а затем находить оценки параметров и , минимизируя функцию

Найдем частные производные:

Приравняем частные производные к 0, сократим на 2, раскроем скобки, перенесем свободные члены вправо. Получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Таким образом, для вычисления оценок метода наименьших квадратов необходимо найти пять сумм:

Для упорядочения расчета этих сумм может быть использована таблица типа той, что применялась в первом пункте настоящей главы. Отметим, что рассмотренная там постановка переходит в разбираемую сейчас при

Подходящая замена переменных во многих случаях позволяет перейти к линейной зависимости. Например, если

то замена z=1/y приводит к линейной зависимости z = a + bx. Если y=(a+bx) 2 , то замена приводит к линейной зависимости z = a + bx.


Статьи по теме