По Математическому Анализу Шпаргалка

Уважаемый гость, на данной странице Вам доступен материал по теме: По Математическому Анализу Шпаргалка. Скачивание возможно на компьютер и телефон через торрент, а также сервер загрузок по ссылке ниже. Рекомендуем также другие статьи из категории «Шпаргалки».

По Математическому Анализу Шпаргалка.rar
Закачек 522
Средняя скорость 7591 Kb/s

По Математическому Анализу Шпаргалка

Основы дифференциального исчисления . Понятие производной.

X=X1-X – приращение аргумента.

f(X)=f(X+X)-f(X) – приращение функции. Пример:

Определение: Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0.

Геометрический смысл производной.

Ку.к. – угловой коэф. касательной.

Ксек – угловой коэф. секущей.

Таким образом угловой коэффициент касательной совпадает со значение производной в данной точке.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид:

Физический смысл производной.

S(t) – путь за данное время.

S(t) – приращение пути.

S(t)/ t –средняя скорость на участке.

мгновен. скорость на участке:

произв. пути от скорости: S'(t)=U(t)

Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.

Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную.

Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Доказательство 2-го правила.Теорема о произв. сложной функции.

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Рассмотрим f(x) в задан. промеж.: [a,b].

g(y): [f(a),f(b)] – наз. обратной к f(x), если g(f(x))=x, для любого  X [a,b]

f(g(y))=y, для любого у [f(a),f(b)]

y=sin x [-/2, /2], тогда

x=arcsin y, y[1,1]

sin arcsin y = y;

arcsin * sin x=x

1. Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n³2) функции у= f (х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у= f (х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается d n y )По определению d n y= d(d n-1 y) . Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, d n y=f (n) (х)dx n , в предположении, что n-ая производная f (n) (х) сущ-ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так

Док-во: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b], f (х)= f(a)=f(b) , то f'(c)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку интервала (a,b).

Пусть теперь функция f(x) не является постоянной. По теореме Вейштраса существуют точки х1 и х2 на отрезке [a,b] , в которых достигаются наименьшее m и наибольшее М значения функции. Обе эти точки не могут быть концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что m , следовательно, функция f (х) сохраняла бы постоянное значение, вопреки предположению.

Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х1 , т.е. a 0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х 0), а после точки х0 убывает (т.е. f’ (х) 0 при х х0 , то в точке х0 имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х0 f’ (х) 0 при х > х0 , то в точке х0 имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х0 , в том числе и в самой точке х0 , существует первая производная f’ (х). Кроме того, в точке х0 существует вторая производная f»( х0 ). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f»( х0 )=0. Посмотрим теперь на f»( х ) как на первую производную от функции

Определение функции нескольких переменных.

Переменная u называется f(x,y,z. t), если для любой совокупности значений (x,y,z. t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.

Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.

G — совокупность (x,y,z. t) — область определения .

Функции 2-х переменных.

Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) ÎG ставится в соответствие определенное значение переменной z.

Предел функции 2-х переменных.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)- рассматриваемая точка.

Опр. Окрестностью точки р0 называется круг с центром в точке р0 и радиусом r. r = Ö(х-х0)2+(у-у0)2Ø

Число А называется пределом функции |в точке р0, если для любого

сколь угодно малого числа e можно указать такое число r (e)>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше r выполняется неравенство: ½f(x,y) — А½ 0, то в т. р0 сущ. экстремум.


Статьи по теме