Реферат на Тему Теория Вероятности

Уважаемый гость, на данной странице Вам доступен материал по теме: Реферат на Тему Теория Вероятности. Скачивание возможно на компьютер и телефон через торрент, а также сервер загрузок по ссылке ниже. Рекомендуем также другие статьи из категории «Рефераты».

Реферат на Тему Теория Вероятности.rar
Закачек 1188
Средняя скорость 5158 Kb/s

Реферат на Тему Теория Вероятности

Классическое определение вероятности

Частость наступления события

Операции над событиями

Сложение и умножение вероятности

Формула повторных независимых испытаний (система Бернулли)

Список используемой литературы

Теория вероятности — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий и они формулировались в наглядных представлениях. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Яков Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Например: определить однозначно результат выпадения орла или решки в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число орлов и решек .

Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

Например: испытание — подбрасывание монеты.

Результатом испытания является событие. События бывают

Достоверные (всегда происходят в результате испытания);

Невозможные (никогда не происходят);

Равновероятные (имеют равные возможности произойти), менее вероятные и более вероятные;

Случайные (могут произойти или не произойти в результате испытания).

Например: При подбрасывании кубика невозможное событие — кубик станет на ребро, случайное событие — выпадение какой либо грани, равновероятное событие — кубик станет на четную грань.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием.

В результате испытания происходят только элементарные события.

Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.

Например: Испытание — подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие — выпадение грани с 1 или 2 .

Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.

Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.

Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.

Например: испытание — подбрасывание кубика.

Элементарное событие — выпадение грани с номером 1 . Сложное событие — выпадение нечетной грани.

Введем следующие обозначения:

Р — случайное событие;

Е — достоверное событие;

U — невозможное событие.

Классическое определение вероятности

Пусть пространство элементарных событий состоит из их конечного числа и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными.

Пусть х — произвольное событие.

А1, А2, …, Аn — группа событий, где n — количество событий.

Аi — любое из событий группы, которое приводит к наступлению события х.

Тогда Аi, называется благоприятствующим и вероятное событие определяется

где m — число элементарных событий, n — общее число элементарных событий, то есть:

Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна дроби, числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель — общее число элементарных событий. Такое определение вероятности было дано впервые в работах французского математика Лапласа, и называется классическим.

Вероятное событие принадлежит промежутку от нуля до единицы

о P(Е)=1 Вероятность достоверного события равна единице

о P(U)=0 Вероятность невозможного события равна нулю

Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из возможных исходов, причем все эти исходы равновероятны.

Одновременно бросаются 3 монеты. Определить вероятность того, что:

) выпадут 2 орла и 1 решка;

) выпадут 2 решки и 1 орёл;

) выпадут 3 решки.

Рассмотрим еще несколько экспериментов на примере таблицы:

ЭкспериментЧисло возможных исходов (n)Событие АЧисло благоприятных исходов (m)Вероятность наступления события А P(A)= Вытягиваем экзаменационный билет24Вытянули несчастливый билет.1 Бросаем кубик6На кубике — четное число очков3 Играем в лотерею250Выиграли, купив один билет10

Частость наступления события

Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают множество всех подмножеств пространства элементарных событий W и невозможное событие V. Пример:

W =( w 1, w 2, w 3)=V=(1)=(2)

A4=(3)=(1, 2)=(2, 3)=(1, 3)=( w 1, w 2, w 3)

Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие A Î F. Проводим серию испытаний в количестве n, где n — это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A.

Частостью наступления события A в n испытаниях называется отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов

  1. Частость достоверного события равна 1. ?n(U)=1.
  2. Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей.

Рассмотрим систему Ai, i=1, . k; события попарно несовместны, т.е.

Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению суммы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (i¹j) в этом испытании произойти не может. Следовательно:

Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.

Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.

К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

Но прежде, чем перейти к рассмотрению задач, ознакомимся с элементами комбинаторики.

Соединение — это множество элементов однородной структуры. Включает в себя 3 типа:

) перестановка из n-элементов — такие соединения, которые содержат все n элементы, при этом перестановка от перестановки отличается только местом элемента.

где Pn — перестановка, n — число перестановок.

) размещение из n-элементов по m называют соединения, которые содержат m элементов некоторого n-мерного множества, и размещение от размещения отличаются местом и значением элементов.

где — число всевозможных элементов.

) сочетание из n-элементов по m называют соединения, которые содержат m элементов, и сочетание от сочетания отличается только значением элемента.

Имеется корзина. В ней 20 шаров, из них 5 белых и 15 черных. Из корзины произвольно вынимается 3 шара. Определить вероятность того, что:

) все шары будут белыми;

) 2 белых и 1 черный;

) все шары будут черными.

) n= C n=5 (n-1)=4 (n-m+1)=3

m= C 3 — количество сомножителей

Один раз бросаются 2 игральные кости. Определить вероятность того, что:

) В сумме выпадет 5 очков;

) На каждой кости будет четное число очков;

Бросаются 4 кости. Определить вероятность того, что:

) На костях будет различное количество очков.

m=4 5 очков: 4+1; 2+3; 3+2; 1+4. (4 варианта)

m=9 Возможные варианты совпадения очков: 2-2, 2-4, 2-6, 4-2, 4-4, 4-6, 6-2, 6-4, 6-6

Имеется группа из 30 человек. В нее входят 20 студентов, 7 преподавателей и 3 лаборанта. 7 человек должны пойти на дежурство. Определить вероятность того, что на дежурство пойдут:

) 4 студента, 2 преподавателя, 1 лаборант.

) 5 студентов, если 1 преподаватель и 1 лаборант уже на дежурстве.

3) 2 — уже на дежурстве

Определить МАХ вероятность выигрыша 6 из 45

Из 40 вопросов к экзамену студент подготовил 30. Билет содержит 3 вопроса. Определить вероятность того, что студент получит оценку:

Однако существует единый подход к решению самых разнообразных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название — дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Рассмотрим это на примере следующей задачи:

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Для ее решения построим специальную схему:

Пусть имеется замкнутая область G, в ней помещается область g. Произвольным образом ставится точка А в область G. Эта точка может попасть в область g, тогда вероятность того, что точка А попадет в область g определяется по формуле

где g — благоприятная область, G — вся возможная область.

Вероятности, определенные с помощью мер, называются геометрическими.

Существует целая серия задач, в которых можно по-другому подойти к определению вероятности случайного события, как говорят математики — из геометрических соображений.

На квадратном столе площадью 0,6 м2 выделен черный квадрат площадью 0,04 м2. Как определить вероятность того, что фишка попадет в черный квадрат, если ее бросить на стол наугад?

Палка длиной 10 см произвольно ломается на 2 части. Определить вероятность того, что один из обломков будет менее 3 см.

Теория вероятностей как один из разделов математики. Типы события и действия над ними. Случайное событие, его виды. Применение операций сложения и умножения при определении вероятностей. Наглядная геометрическая интерпретация этих понятий, дерево исходов.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Архангельской области

ГАОУ СПО АО “Архангельский торгово-экономический колледж”

Реферат на тему

“Теория вероятности. История становления теории вероятности как науки”

г. Архангельск, 2013г.

События. Эксперимент. Исход

Типы события и действия над ними. Случайное событие, его виды

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики. математика геометрический сложение умножение

События. Эксперимент. Исход

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, линии; в механике — понятия силы, массы, скорости, ускорения и т.д. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие — это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то заканчиваться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами строго не определяются, а только поясняются.

Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. В качестве первого из них введем понятие события.

Под «событием» в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Приведем несколько примеров событий:

А — появление герба при бросании монеты;

В — появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

С — попадание в цель при выстреле;

Под Экспериментом (опытом) в теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание.

Когда речь идет о соблюдении комплекса условий данного эксперимента, имеется в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом, как правило, имеет место большое число неконтролируемых факторов, которые трудно или невозможно учесть.

Результаты эксперимента можно охарактеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или не наблюдаться при данном испытании. Любое из этих явлений называется в теории вероятностей событием.

События делятся на:

(в результате опыта никогда не произойдут),


Статьи по теме