Справочник по Алгебре 9 Класс

Уважаемый гость, на данной странице Вам доступен материал по теме: Справочник по Алгебре 9 Класс. Скачивание возможно на компьютер и телефон через торрент, а также сервер загрузок по ссылке ниже. Рекомендуем также другие статьи из категории «Справочники».

Справочник по Алгебре 9 Класс.rar
Закачек 3881
Средняя скорость 4896 Kb/s

Справочник по Алгебре 9 Класс

Справочник по алгебре содержит основные формулы и понятия за курс 7-9 классов.

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Математика — довольно интересная наука. Она дает нам средство для решения, казалось бы, настолько абстрактных задач, что представить их физическое решение затруднительно. Чего стоит кубический к.

Этот справочник пожет ученикам 5 класса, а также он будет полезен ученикам 6 класса, которые прийдут в школу после летних каникул.Для печати блокнота используйте бумагу формата А5, (разрезаный пополам.

Методические рекомендации по работе со справочником: Справочник по математике (геометрия). 5 – 9 классы: для учащихся специальных (коррекц.) общеобразоват. шк. / А. Г. Саламатова. – М.: Гуманитар.

Подборка материала по всем темам учебного курса.

Справочник по орфографии и пунктуации к ГИА — 9 по русскому языку.

Справочник предназначен для учащихся 10-11 классов. Материал систематизирован, структурирован.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии n>, т. е. в арифметической прогрессии с членами: a1, a2, a3, a4, a5, …, an-1, an, … по определению:

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предшествующим ему членом равна некоторому числу d, которое является постоянным для данной последовательности чисел, и называется разностью арифметической прогрессии. Итак, справедливы равенства:

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член a1 и разность d.

Пример 1. Написать первые пять членов арифметической прогрессии, зная первый член a1 и разность d.

а) a1=2, d=3.

Решение. По условию разность арифметической прогрессии d=3. Это означает, что для получения каждого следующего члена нужно прибавлять число 3 к предыдущему члену.

a5=a4+d=11+3=14. Ответ: 2; 5; 8; 11; 14; .

a5=a4+d=-16-2=-18. Ответ: -10; -12; -14; -16; -18; .

Пример 2. Известны два члена арифметической прогрессии n>. Требуется найти первый член a1 и разность d.

Решение. По определению арифметической прогрессии можно найти ее разность:

Решение. d=a 4 -a 3 =-16- (-12)=-16+12=-4; отсюда a2=a 3 -d=-12- (-4)=-12+4=-8;

в) a 2 =-4, a4=6.

Решение. Так как a4=a3+d; а в свою очередь a3=a2+d, то можно записать:

9.3.1. Числовая последовательность

Функция an=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;. ) называется числовой последовательностью.

Числа a1; a2; a3; a4;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a1=f (1); a2=f (2); a3=f (3); a4=f (4);…

Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a1; a2; a3; a4;…, следовательно, a1 — первый член последовательности;

a2 — второй член последовательности;

a3 — третий член последовательности;

a4 — четвертый член последовательности и т.д.

Кратко числовую последовательность записывают так: an=f (n) или n>.

Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.

Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:

0; 5; 10; 15; 20; 25; .

Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; . . Задайте ее словесным способом.

Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.

2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: an=f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: ak = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.

Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; . .

Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; . . Ответ: ak=2k-1.

3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности n>,

Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности n>,

4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; . . Ординаты — значения членов последовательности: a1; a2; a3; a4;… .

Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.

Решение.

Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; an). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .

Получаем: ( 1 ; -3), ( 2 ; 1), ( 3 ; 4), ( 4 ; 6), ( 5 ; 7).

Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).

Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.

Числовую последовательность называют возрастающей, если ее члены возрастают (an+1>an) и убывающей, если ее члены убывают (an+1n).

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными.

9.3.2. Арифметическая прогрессия. Теория

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

Так, числовая последовательность а1; а2; а3; а4; а5; … аn будет являться арифметической прогрессией, если а2 = а1 + d;

Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом аn. Записывают: дана арифметическая прогрессия n>.

Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a1 и разность d.

Примеры арифметической прогрессии

Пример 1. 1; 3; 5; 7; 9;… Здесь а1 = 1; d = 2.

Пример 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;… Здесь а1 = 8; d =-3.

Пример 3. -16; -12; -8; -4;… Здесь а1 = -16; d = 4.

Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

В 1 примере второй член 3 =(1+5):2 ; т.е. а2 = (а13):2; третий член 5 =(3+7):2;

Значит, справедлива формула:

Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.

Обратимся примеру 2. Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и седьмого членов (а1 = 8, а7 = -10).

По формуле (**) имеем:

Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.

Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.

Вы уже догадались: а2 = а1 + d;

Полученную формулу an = a1 + (n-1)d (***)

называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn.

От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.

Сложим почленно эти два равенства:

Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2Sn = n· (a1 + an).

Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

(****)

Если заменим аn значением а1 + (n-1) d по формуле (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

(*****)


Статьи по теме